【题意】N(<=10^9)个方格排成一列,用红绿蓝黄四种颜色来涂每个方格,每格必须涂且只能涂一次,问使得红色和蓝色的格子的数量为偶数的方案数。
【分析】首先,很容易想到DP的做法:dp[i][j]表示涂满前i个方格,j状压表示0~3四种颜色出现奇偶次数的方案数。那么转移方程就是dp[i+1][j^(1<<k)] += dp[i][j] (k:0~3);但是N太大没法这样推下去。
发现每次转移的状态都是一样的,那么把0~ (1<<4)-1的所有16个状态用一个16*16的转移矩阵x表示,x[i][j]表示在一次转移中(也就是上面DP去掉最外面的一层再统计)状态i能否转移到状态j,那么初始矩阵为st{1,0,0,…},其实就是上面的dp[0],那么最后只要st*x^n就是所求的dp[n];
【AC CODE】32ms
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <cmath> #include <set> #include <bitset> //#include <unordered_set> #include <queue> #include <stack> #include <vector> #include <string> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; #define rep(i,a,n) for(int i = a; i < n; i++) #define repe(i,a,n) for(int i = a; i <= n; i++) #define per(i,n,a) for(int i = n; i >= a; i--) #define clc(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) const int INF = 0x3f3f3f3f,MOD = 10007,MAXN = 1<<4; struct MATRIX{ int num[MAXN][MAXN]; MATRIX(){ clc(num,0); } MATRIX operator*(const MATRIX &b){ MATRIX ans; rep(i,0,MAXN) { rep(j,0,MAXN) { rep(k,0,MAXN) { ans.num[i][j] += num[i][k]*b.num[k][j]; } ans.num[i][j] %= MOD; } } return ans; } }; MATRIX pow_mod(MATRIX& x, int n) { MATRIX ans; rep(i,0,MAXN) ans.num[i][i] = 1; while(n) { if(n&1) ans = ans*x; x = x*x; n >>= 1; } return ans; } int d[MAXN],st[MAXN]; int main() { #ifdef SHY freopen("d:\\1.txt", "r", stdin); #endif int t; scanf("%d", &t); st[0] = 1; while(t--) { int n,all = 1<<4; scanf("%d", &n); MATRIX x;//构造转移矩阵 rep(j,0,all) { rep(k,0,4) x.num[j][j^(1<<k)]=1; } x = pow_mod(x,n); clc(d,0);//计算st*(x^n) rep(i,0,MAXN) { rep(j,0,MAXN) { d[i] += st[j]*x.num[j][i]; } d[i] %= MOD; } int ans = 0;//统计最后的结果,此时d就是dp[n] rep(j,0,all) { if(0 == (j&(1<<0)) && 0 == (j&(1<<1))) ans += d[j]; } printf("%d\n", ans%MOD); } return 0; }